Question

二次函数的图象如图所示，P为图象顶点，A为图象与y轴交点．
（1）求二次函数的图象与x轴的交点B、C的坐标；
（2）在x轴上方的函数图象上存在点D，使△BCD的面积是△AOB的面积的6倍，求点D的坐标．

Answer

（1）依题意，由图象可知顶点P的坐标（2，9），可设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+9，把点A坐标代入求出a值．
又因为B，C是函数与x轴的交点，即y=0，代入得0=-（y-2）2+9，求得x的值；
（2）先求出S△AOB，S△AOB=×1×5=，因为S△BCD=6S△AOB，易求出S△BCD．设D（x，y），依题意可知D点在抛物线上，将y=5代入抛物线解析式可求出x的取值．
【解析】
（1）由图象可知，顶点为P（2，9）．
设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+9．
∵图象过点A（0，5），
∴5=a（0-2）2+9，
解得a=-1．
∴y=-（x-2）2+9，（2分）
当y=0时，0=-（x-2）2+9．
解得x1=-l，x2=5．
∴图象与x轴的交点坐标B（-1，0），C（5，0）（3分）

（2）设D（x，y），其中y＞0．
∵S△BCD=6S△AOB，
∴
∴|y|=5．
∴y=5（舍负值）（4分）
当y=5时，5=-（x-2）2+9．
解得x1=0，x2=4．
∴点D的坐标为D1（0，5），D2（4，5）（6分）