Question

如图所示，△ABC中，AC=BC，以AC为直径的⊙O交AB于E，作△BCA的外角平分线CF交⊙O于F，连接EF，求证：EF=BC．

Answer

由等边对等角得∠B=∠A，由∠DCA是△ABC的外角，且CF平分∠DCA，可得∠DCF=∠FCA=∠A=∠B，由此可得FC∥AB，又∠FCA=∠FEA，因此∠FEA=∠B，即BC∥EF，因此四边形CFEB是平行四边形，可证得BC=EF．
证明：∵CA=CB，
∴∠B=∠A，
又∵∠DCA=2∠FCA，∠DCA=∠A+∠B=2∠A，
∴∠FCA=∠A．
∴CF∥AB．
又∵∠FCA=∠FEA（同弧所对的圆周角相等），
∴∠FEA=∠B．
∴BC∥EF．
∴四边形CFEB为平行四边形．
∴EF=BC．