Question

已知如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于B（1，0）、C（4，0）两点，与y轴的正半轴相交于A点，过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A．
（1）请求出点A坐标和⊙P的半径；
（2）请确定抛物线的解析式；
（3）M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交⊙P于点D．若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MB•MD的值．（先画出符合题意的示意图再求解）．

Answer

（1）利用切割线定理以及矩形的性质得出点A坐标和⊙P的半径；
（2）将B（1，0）、C（4，0），A（0，2）带入y=ax2+bx+c求出a，b，c进而得出解析式即可；
（3）根据题意∠OAB=∠ADB，得出△AOB和△ABD相似有两种情况进而得出即可．
【解析】
（1）∵OA是⊙P的切线，OC是⊙P的割线．
∴OA2=OB×OC，
即OA2=1×4，
∴OA=2，
即点A点坐标是（0，2）
如图1，连接PA，过P作PE⊥CO交OC于E显然，四边形PAOE为矩形，
故PA=OE，
∵PE⊥BC，
∴BE=CE，
又∵BC=3，
∴BE=，
∴PA=OE=OB+BE=1+=，
即⊙P的半径长为．

（2）将B（1，0）、C（4，0），A（0，2）带入y=ax2+bx+c得：
，
解得：，
故抛物线的解析式是：；

（3）根据题意∠OAB=∠ADB，
所以△AOB和△ABD相似有两种情况
①∠ABD和∠AOB对应，
如图1，此时AD是⊙P的直径则AB=，AD=5
∴BD=2，
∵Rt△AMB∽Rt△DAB，
∴MA：AD=AB：BD，
即MA=，
∵Rt△AMB∽Rt△DMA，
∴MA：MD=MB：MA
即MB•MD=MA2=，
②∠BAD和∠AOB对应，
如图2，此时BD是⊙P的直径，所以直线MB过P点
∵B（1，0），P（，2），
∴直线MB的解析式是：
∴M点的坐标为（0，-），
∴AM=，
由△MAB∽△MDA，
得MA：MD=MB：MA
∴MB•MD=MA2=．