Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴相交于A，B两点，OA，OB的长分别是方程x²-14x+48=0的两根，且OA＜OB．
（1）求点A，B的坐标．
（2）过点A作直线AC交y轴于点C，∠1是直线AC与x轴相交所成的锐角，sin∠1=，点D在线段CA的延长线上，且AD=AB，若反比例函数y=的图象经过点D，求k的值．
（3）在（2）的条件下，点M在射线AD上，平面内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）解一元二次方程，求得OA、OB的长度，得到点A、B的坐标；
（2）如答图1所示，作辅助线，构造全等三角形△AOB≌△DEA，求得点D的坐标；进而由题意，求出k的值；
（3）如答图2所示，可能存在两种情形，需要分别计算，避免漏解．针对每一种情形，利用相似三角形和全等三角形，求出点N的坐标．
【解析】
（1）解方程x2-14x+48=0，得：x1=6，x2=8．
∵OA，OB的长分别是方程x2-14x+48=0的两根，且OA＜OB，
∴OA=6，OB=8，
∴A（6，0），B（0，8）．

（2）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E．

在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，由勾股定理得：AB=10．
∴sin∠OBA===．
∵sin∠1=，
∴∠OBA=∠1．
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠1+∠ADE=90°，
∴∠OAB=∠ADE．
在△AOB与△DEA中，
，
∴△AOB≌△DEA（ASA）．
∴AE=OB=8，DE=OA=6．
∴OE=OA+AE=6+8=14，
∴D（14，6）．
∵反比例函数y=的图象经过点D，
∴k=14×6=84．

（3）存在．
如答图2所示，若以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形，

①当AB：AM1=2：1时，
过点M1作M1E⊥x轴于点E，易证Rt△AEM1∽Rt△BOA，
∴，即，
∴AE=4，M1E=3．
过点N1作N1F⊥y轴于点F，易证Rt△N1FB≌Rt△AEM1，
∴N1F=AE=4，BF=M1E=3，
∴OF=OB+BF=8+3=11，
∴N1（4，11）；
②当AB：AM2=1：2时，
同理可求得：N2（16，20）．
综上所述，存在满足条件的点N，点N的坐标为（4，11）或（16，20）．