Question

如图，在⊙O中，AB为直径，半径OE⊥AB，M为半圆上任意一点，过M作⊙O的切线交OE的延长线与P，过A作弦AC∥MP，连MB、BC，BM交OP于N点．
（1）求证：MP=PN；
（2）已知AC=4，PE=1，求sin∠ABC的值．

Answer

（1）连接OM交AC于H，根据切线性质得出∠PMO=90°，求出∠PMN=∠PNM，根据等腰三角形判定推出即可；
（2）求出AH值，证△AHO∽△OMP，得出比例式，即可求出圆的半径，求出AB，解直角三角形求出即可．
（1）证明：连接OM交AC于H，
∵PM切⊙O于M，
∴∠PMO=90°，
∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∴∠ONB+∠OBN=90°，∠PMN+∠OMN=90°，
∵OM=OB，
∴∠OMN=∠OBN，
∵∠PNM=∠BNO，
∴∠PMN=∠PNM，
∴MP=PN；

 （2）设⊙O的半径为R，
∵AC∥PM，∠PMO=90°，
∴OM⊥AC，
∴由垂径定理得：AH=CH=AC=2，
∴∠OHA=90°=∠PMO，
∵OH⊥AC，
∴∠AHO=∠EOA=90°，
∠A+∠AOH=90°，∠AOH+∠HOP=90°，
∴∠A=∠POM，
∵∠AHO=∠PMO，
∴△AHO∽△OMP，
∴=，
∴=，
R=1+，R=1-（半径不能为负数，舍去），
∴AB=2R=2+2，
sin∠ABC===-1．