Question

如图1，抛物线C₁：y=-x²+4x-2与x轴交于A、B，直线l：y=-x+b分别交x轴、y轴于S点和C点，抛物线C₁的顶点E在直线l上．
（1）求直线l的解析式；
（2）如图2，将抛物线C₁沿射线ES的方向平移得到抛物线C₂，抛物线C₂的顶点F在直线l上，并交x轴于M、N两点，且tan∠EAB=•tan∠FNM，求抛物线C₁平移的距离；
（3）将抛物线C₂沿水平方向平移得到抛物线C₃，抛物线C₃与x轴交于P、G两点（点P在点G的左侧），使得△PEF为直角三角形，求抛物线C₃的解析式．

Answer

（1）利用配方法能得到抛物线C1的顶点坐标，代入直线l的解析式后即可得解．
（2）由于抛物线C2是由抛物线C1沿射线CS平移所得，所以C2的顶点F仍在直线l上，且抛物线C2的解析式中二次项系数不变（代表的是抛物线的开口方向和大小），首先根据点E的坐标求出tan∠EAM的值，代入题干给出的关系式后可得tan∠FNM的值，然后根据直线l的解析式设出点F的坐标，进而由tan∠FNM的值表示出点M或点N的坐标，再代入抛物线C2的解析式中后即可得到点F的坐标，E、F两点坐标已知，其距离可求．
（3）抛物线C2沿水平方向平移时，与x轴交点间的距离不变，顶点纵坐标不变，可先设出点P、G以及C3顶点的坐标，那么线段EF、EP、FP的长度表达式可得，若△PEF是直角三角形，那么这三边的长必满足勾股定理，然后分点E、F、P分别是直角顶点列出等式求解．
【解析】
（1）∵抛物线C1：y=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，
∴顶点E（2，2），代入直线l的解析式后，得：
-×2+b=2，b=3
∴直线l：y=-x+3．

（2）∵顶点F在直线l上，
∴可以设顶点F（m，-m+3），
∴抛物线C2可表示为 y=-（x-m）2-m+3；
∵A（2-，0）、B（2+，0），E（2，2）
∴tan∠EAB==；
∵tan∠EAB=•tan∠FNM，∴tan∠FNM=1，∠FNM=45°
∴ON=m+（-m+3）=m+3，即 N（m+3，0）
代入y=-（x-m）2-m+3中，得 m=4，即 F（4，1）；
∴EF==，即抛物线C1平移的距离EF=．

（3）由（2）知 C2：y=-（x-4）2+1，∴M（3，0）、N（5，0）；
∵将抛物线C2沿水平方向平移得到抛物线C3，∴PG=MN=2，
设P（p，0），则Q（p+2，0），抛物线C3顶点（p+1，1）、抛物线C3：y=-（x-p-1）2+1；
∵E（2，2）、F（4，1），
∴PE2=（p-2）2+22=p2-4p+8；PF2=（p-4）2+12=p2-8p+17，EF2=5；
①当∠PEF=90°时，p2-4p+8+5=p2-8p+17，∴p=1，此时C3为 y=-（x-2）2+1；
②当∠PFE=90°时，p2-8p+17+5=p2-4p+8，∴p=，此时C3为 y=-（x-）2+1；
③当∠EPF=90°时，p2-8p+17+p2-4p+8=5，即 p2-6p+10=0，△＜0，此时C3不存在；
∴抛物线C3的解析式为 y=-（x-2）2+1或y=-（x-）2+1．