Question

如图，半径为2的⊙E交x轴于A、B，交y轴于点C、D，直线CF交x轴负半轴于点F，连接EB、EC．已知点E的坐标为（1，1），∠OFC=30°．
（1）求证：直线CF是⊙E的切线；
（2）求证：AB=CD；
（3）求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）首先过点E作EG⊥y轴于点G，由点E的坐标为（1，1），可得EG=1．继而可求得∠ECG的度数，又由∠OFC=30°，∠FOC=90°，可求得∠FCE=∠OCF+∠ECG=90°．
（2）首先过点E作EH⊥x轴于点H，易证得Rt△CEG≌Rt△BEH，又由EH⊥AB，EG⊥CD，则可证得AB=CD；
（3）连接OE，可求得OC=+1与∠OEB+∠OEC=210°，继而可求得阴影部分的面积．
【解析】
（1）过点E作EG⊥y轴于点G，
∵点E的坐标为（1，1），
∴EG=1．
在Rt△CEG中，sin∠ECG==，
∴∠ECG=30°．                       
∵∠OFC=30°，∠FOC=90°，
∴∠OCF=180°-∠FOC-∠OFC=60°．   
∴∠FCE=∠OCF+∠ECG=90°．
即CF⊥CE．
∴直线CF是⊙E的切线．                

（2）过点E作EH⊥x轴于点H，
∵点E的坐标为（1，1），
∴EG=EH=1．                         
在Rt△CEG与Rt△BEH中，
∵，
∴Rt△CEG≌Rt△BEH（HL）．
∴CG=BH．                           
∵EH⊥AB，EG⊥CD，
∴AB=2BH，CD=2CG．
∴AB=CD．                           

（3）连接OE，
在Rt△CEG中，CG==，
∴OC=+1．                        
同理：OB=+1．                    
∵OG=EG，∠OGE=90°，
∴∠EOG=∠OEG=45°．
又∵∠OCE=30°，
∴∠OEC=180°-∠EOG-∠OCE=105°．
同理：∠OEB=105°．                  
∴∠OEB+∠OEC=210°．
∴S阴影=-×（+1）×1×2=--1．