Question

如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G．下列结论：①AE=CD；②∠AFC=120°；③△ADF是正三角形；④．其中正确的结论是    （填所有正确答案的序号）．

Answer

根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠B=60°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CD，判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ACD=∠BCE，求出∠CAF+∠ACD=60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠AFC=120°，判定②正确；求出∠FAD＜60°，判定△ADF是正三角形错误；求出∠AFG=60°，再求出∠FAG=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得FG=AF，然后得到④正确．
【解析】
在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠B=60°，
∵在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AE=CD，故①正确；

∠ACD=∠BCE，
∴∠CAF+∠ACD=∠CAF+∠BCE=∠BAC=60°，
在△ACF中，∠AFC=180°-（∠CAF+∠ACD）=180°-60°=120°，故②正确；

∵∠FAD＜∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠FAD≠60°，
∴△ADF不是正三角形，故③错误；

∵∠AFG=180°-∠AFC=180°-120°=60°，AG⊥CD，
∴∠FAG=90°-60°=30°，
∴FG=AF，
∴=，故④正确，
综上所述，正确的有①②④．
故答案为：①②④．