Question

如图，AB∥CD，∠CAB=108°，AC=2．
（1）用直尺和圆规作∠C的平分线CE，交AB于E，并在CD上取一点F，使AC=AF，再连接AF，交CE于K；（要求保留作图痕迹，不必写出作法）
（2）依据现有条件，直接写出图中所有相似的三角形，并求出AK．（图中不再增加字母和线段，不要求证明）．

Answer

（1）首先作∠C的平分线CE：以点C为圆心，以任意长为半径画弧；再以此弧与∠C两边的交点为圆心，以大于这两个交点连线的一半为半径画弧，过此两弧的交点作射线CE即可；以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，弧与CD的交点即为点F；
（2）根据平行于三角形的一边的直线截三角形的另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，可得△EAK∽△CFK；由平行线的内错角相等、角平分线材的定义可得△ACE是等腰三角形，可得∠AFC=∠ACF=72°，易得∠ACK=∠AEC=∠CAF=36°，即可得△CKF∽△ACF∽△EAK，△CAK∽△CEA．
【解析】
（1）CE作法正确得（2分），F点作法正确得（1分），K点标注正确得（1分）；

（2）△CKF∽△ACF∽△EAK；△CAK∽△CEA
理由：∵AB∥CD，∠CAB=108°，
∴∠ACD=72°，
∴∠ECF=∠AEC，
∵∠ECF=∠ACE=∠ACF=36°，
∴∠ACE=∠AEC=36°，
∵AC=AF，
∴∠AFC=∠ACF=72°，
∴∠CKF=72°，∠CAF=36°，
∴△CKF∽△ACF∽△EAK，△CAK∽△CEA．
∵△CKF∽△ACF，
∴=，
∵CK=CF=AK，
∴=，
解得：AK=-1±，（AK不可能是负数），
∴AK=-1．