Question

如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A，B两点，与双曲线y=（a≠0，x＞0）分别交于D、E两点．
（1）若点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4）：
①分别求出直线l与双曲线的解析式；
②若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？
（2）假设点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点D为线段AB的n等分点，请直接写出b的值．

Answer

（1）①运用待定系数法可分别得到直线l与双曲线的解析式；
②直线l向下平移m（m＞0）个单位得到y=-x=5-m，根据题意得方程组只有一组解时，化为关于x的方程得x2+（5-m）x+4=0，则△=（m-5）2-4×4=0，解得m1=1，m2=9，当m=9时，公共点不在第一象限，所以m=1；
（2）作DF⊥x轴，由DF∥OB得到△ADF∽△ABO，根据相似比可得到AF=，DF=，则D点坐标为（a-，），然后把D点坐标代入反比例函数解析式中即可得到b的值．
【解析】
（1）①把D（4，1）代入y=得a=1×4=4，
所以反比例函数解析式为y=（x＞0）；
设直线l的解析式为y=kx+t，
把D（4，1），E（1，4）代入得，
解得．
所以直线l的解析式为y=-x+5；
②直线l向下平移m（m＞0）个单位得到y=-x+5-m，
当方程组只有一组解时，直线l与双曲线有且只有一个交点，
化为关于x的方程得x2+（5-m）x+4=0，
△=（m-5）2-4×4=0，解得m1=1，m2=9，
而m=9时，解得x=-2，故舍去，
所以当m=1时，直线l与双曲线有且只有一个交点；

（2）作DF⊥x轴，如图，
∵点D为线段AB的n等分点，
∴DA：AB=1：n，
∵DF∥OB，
∴△ADF∽△ABO，
∴==，即==，
∴AF=，DF=，
∴OF=a-，
∴D点坐标为（a-，），
把D（a-，）代入y=得（a-）•=a，
解得b=．