Question

在平面直角坐标系中，如图所示，△AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连接OC，AD．
（1）求证：OC=AD；
（2）求OC的长；
（3）求过A、D两点的直线的解析式．

Answer

（1）利用△DCB是由△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到的，得出△DCB也是边长为2的等边三角形，进而求出△OBC≌△ABD即可得出答案；
（2）作CF⊥OD交x轴于点F．由勾股定理得：CF2=BC2-BF2，求出CF，进而得出CO．
（3）首先求出A，D两点的坐标，进而得出直线AD的解析式即可．
【解析】
（1）∵△AOB是边长为2的等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，∠AOB=∠BAO=∠OBA=60°，
又△DCB是由△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到的，
∴△DCB也是边长为2的等边三角形，
∴∠OBA=∠CBD=60°，OB=AB，BC=BD，
又∠OBC=∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC=∠ABD
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴OC=AD（全等三角形的对应边相等），

（2）如图1，作CF⊥OD交x轴于点F，则F为BD的中点，
∴BF=1，
在Rt△BCF中，BC=2，BF=1，
由勾股定理得：CF2=BC2-BF2=4-1=3，
CF=，
在Rt△OCF中，OF=OB+BF=2+1=3，
由勾股定理得：OC2=OF2+CF2=9+3=12，
∴OC==2；

（3）作AE⊥OB交x轴于点E，则E为OB的中点，
∴OE=1，AE=CF=，
∴A点的坐标是（1，）又OD=OB+BD=2+2=4，
故D点的坐标是（4，0）．
设过A、D两点的直线的解析式为y=kx+b，将A，D点的坐标代入得：
 ，
解得：，
∴过A、D两点的直线的解析式为y=-x+．