Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上的一点，以O为圆心，以OB为半径作圆，交AC于E、F，交AB于D．若E是的中点，且AE：EF=3：1，FC=4，求∠CBF的正弦值及BC的长．

Answer

连接OE，DF，由已知可推出OE∥BF，根据平行线的性质可得到AE：EF=AO：OB，AE：AF=OE：BF⊙，设OB=r，则可求出OA，BF，AD的值，根据已知可推出BC是⊙O的切线，再利用勾股定理可求得r的值，从而可求得BC的长及∠CBF的正弦值．
【解析】
解法一：连接OE，DF；
∵E是的中点，BD是⊙O的直径，
∴OE⊥DF，∠DFB=90°，
∴OE∥BF，（1分）
∴AE：EF=AO：OB，AE：AF=OE：BF；
∵AE：EF=3：1，
∴AO：OB=3：1，AE=3EF，OE：BF=3：4；
设OB=r，则AO=3r，BF=r，（2分）
∴AD=2r；
∵AE•AF=AD•AB，
∴3EF•4EF=2r•4r，
∴EF=r；（3分）
∵∠ABC=90°，DB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线，
∴BC2=CF•CE=4（4+EF）；
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC2=AC2-AB2=（4EF+4）2-（4r）2，
∴4（4+EF）=（4EF+4）2-（4r）2；（6分）
即4（4+r）=（4×r+4）2-（4r）2；
∴r=，（7分）
∴BC=；（8分）
∵∠CBF=∠BDF，sin∠BDF==，
∴sin∠CBF=．（9分）
（说明：只求出ÐCBF的正弦值给4分）

解法二：
连接DE、OE、EB；
由解法一，有BF=r，EF=DE=r，CB是切线；
∵DB是直径，
∴∠DEB=90°，
在Rt△DEB中，由勾股定理，有DB2=DE2+EB2，
∴EB=r；（4分）
∵∠CBF=∠CEB，且∠C公用，
∴△CFB∽△CBE，
∴=；
由FC=4，得BC=，（7分）
∵CB2=CF•CE，
∴EF=，
∴r=，
∴BF=，AF=14；
过F点作FG∥AB，交CB于G，
∴=，
∴FG=，
在Rt△FGB中，由正弦定义，有
sin∠FBG=，
∴sin∠FBG=．（9分）