Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=DC，点E、P在BC边上，点Q在CD边上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在梯形对角线AC上，记该点为点F，再将△CPQ沿PQ折叠，使点C与点F重合．下列四个结论正确的有（ ）
（1）EF∥PQ；（2）四边形PCQF是菱形；（3）sin∠BCD=；（4）若射线EF经过D点，则．

A．（1）（2）
B．（2）（3）
C．（1）（3）
D．（1）（2）（3）（4）

Answer

（1）根据∠ABC=90°，△ABE沿AE折叠，得出∠AFE=90°，再根据△CPQ沿PQ折叠，得出∠FOP=90°，最后根据平行线的判定即可得出EF∥PQ；
（2）根据AD∥BC，得出∠DAC=∠ACB，再根据AD=CD，得出∠ACB=∠ACD，在△COQ和△COP中，根据ASA证出△COQ≌△COP，OP=OQ，最后根据OC=OF，即可得出四边形PCQF是菱形；
（3）根据∠ABC=90°，得出sin∠BCD=，再根据AD=CD，即可得出sin∠BCD=；
（4）根PQ⊥AC，DE⊥AC，得出PQ∥DE，再根据CO=FO，得出EP=CP，S△CEF=2S△PEF，在△CFE=△CFD中，根据ASA证出△CFE≌△CFD，最后根据AD=CD，DF⊥AC，得出AF=CF，S△ADF=S△CDF=S△CFE=S△AFE=S△AEB=2S△PEF，即可得出S梯形ABCD=10S△PEF．
【解析】
（1）∵∠ABC=90°，△ABE沿AE折叠，
∴∠AFE=90°，
∵△CPQ沿PQ折叠，
∴∠FOP=90°，
∴∠AFE=∠FOP，
∴EF∥PQ；
故本选项正确；
（2）∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴∠ACB=∠ACD，
在△COQ和△COP中，
，
∴△COQ≌△COP，
∴OP=OQ，
∵OC=OF，
∴四边形PCQF是菱形；
故本选项正确；
（3）∵∠ABC=90°，
∴sin∠BCD=，
∵AD=CD，
∴sin∠BCD=，
故本选项正确；
（4）∵PQ⊥AC，DE⊥AC，
∴PQ∥DE，
∵CO=FO，
∴EP=CP，
∴S△CEF=2S△PEF，
在△CFE=△CFD，
，
∴△CFE≌△CFD，
∵AD=CD，DF⊥AC，
∴AF=CF，
∴S△ADF=S△CDF=S△CFE=S△AFE=S△AEB=2S△PEF，
∴S梯形ABCD=10S△PEF，
∴=，
故本选项正确；
故选D．