Question

已知：如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y=相交于C、D两点，且点D的坐标为（1，6）．
（1）当点C的横坐标为2时，试求直线AB的解析式，并直接写出的值为______．
（2）如图2，当点A落在x 轴的负半轴时，过点C作x轴的垂线，垂足为E，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．
①判断△EFC的面积和△EFD的面积是否相等，并说明理由；
②当=2时，求tan∠OAB的值．

Answer

（1）由点D（1，6）在反比例函数y=的图象上可求出m的值，进而得出反比例函数的解析式，再由点C的横坐标为2即可得出其纵坐标，故可得出C点坐标；
（2）①设C（a，b），则ab=6，由S△EFC=（-a）（-b）=ab=3，而S△EFD=×1×6=3，故可得出结论；
②先由平行四边形的判定规定里定理得出四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形，故可得出CE=BF，∠FDB=∠EAC，再由全等三角形的判定定理得出△DFB≌△AEC，故AC=BD，=2，设CD=2k，AB=k，DB=，故可得出，再由△DFB∽△AOB，可知OA=2，且，故可得出OB的长，进而得出结论．
【解析】
（1）∵D（1，6）在y=上，
∴m=6，即双曲线解析式是 y=，
当C点横坐标为2时，纵坐标为3，
∴C（2，3）．
直线AB过点C（2，3），D（1，6），得，k=-3，b=9，
故直线AB的解析式为y=-3x+9；的值为；

（2）①设C（a，b），则ab=6，
∵S△EFC=（-a）（-b）=ab=3，而S△EFD=×1×6=3，
∴S△EFC=S△EFD；
②∵S△EFC=S△EFD，且两三角形同底，
∴两三角形的高相同，
∴EF∥CD，
∵DF∥AE，BF∥CE，
∴四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形，
∴CE=BF，∠FDB=∠EAC，
在△DFB与△AEC中，
∵
∴△DFB≌△AEC（ASA），
∴AC=BD，
∵=2，设CD=2k，AB=k，DB=，
∴，
∵∠DFB=∠AOB，∠DBF=∠ABO，
∴△DFB∽△AOB，
∴OA=2，且，
∴OB=4，
∴tan∠OAB=．