Question

如图，点A（2，6）和点B（点B在点A的右侧）在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，tan∠ACB=2，二次函数的图象经过A、B、C三点．
（1）求反比例函数和二次函数的解析式；
（2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图象上，四边形ACDE是平行四边形，求边CD的长．

Answer

（1）设反比例函数的解析式为y=，由A的坐标可求出k的值，作AM⊥BC，垂足为M，交y轴于N，利用已知条件求出点B的坐标（6，2）再设二次函数的解析式为y=ax2+bx+2，把A和B的坐标代入求出a和b的值即可求出二次函数的解析式；
（2）延长AC交x轴于G，作EH⊥x轴，垂足为H，利用已知条件可证明△ACM≌△EDH，由全等三角形的性质可得：EH=AM=4，DH=CM=2，进而求出点E（3，4），所以OE=3，OD=OE-DH=1，利用勾股定理即可求出CD的长．
【解析】
（1）设反比例函数的解析式为y=，
∵点A（2，6）在反比例函数的图象上，
∴6=，
∴k=12，
∴反比例函数的解析式为，
作AM⊥BC，垂足为M，交x轴于N，
∴CM=2．
在Rt△ACM中，AM=CM•tan∠ACB=2×2=4，
∵BC∥x轴，OC=MN=AN-AM=6-4=2，
∴点C的坐标（0，2）．
当x=2时，y=6，
∴点B的坐标（6，2）
设二次函数的解析式为y=ax2+bx+2，
则，
解得，
故二次函数的解析式为；

（2）延长AC交x轴于G，作EH⊥x轴，垂足为H，
∵在平行四边形ACDE中，AC∥DE，
∴∠AGO=∠EDH，
∵BC∥x轴，
∴∠ACM=∠AGO，
∴∠ACM=∠EDH．
∵∠AMC=∠EHD=90°，AC=ED，
∴△ACM≌△EDH，
∴EH=AM=4，DH=CM=2．
∴点E（3，4），
∴OE=3，OD=OE-DH=1，
∴CD=．