Question

如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°，
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若CD长为，求⊙O的半径以及弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π和根号）

Answer

（1）由已知可证得OC⊥CD，OC为圆的半径所以直线CD与⊙O相切；
（2）根据已知可求得OC，CD的长，则利用S阴影=S△COD-S扇形OCB求得阴影部分的面积．
【解析】
（1）直线CD与⊙O相切，
∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°，
又∵OB=OC，
∴△OBC是正三角形，
∴∠OCB=60°，
又∵∠BCD=30°，
∴∠OCD=60°+30°=90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC是半径，
∴直线CD与⊙O相切．

（2）∵∠OCD=90°，∠O=60°，
∴∠D=30°，
∵CD=，
∴CO=CD•tanD=1，
∴S△COD=OC•CD=，
又∵S扇形OCB==，
∴S阴影=S△COD-S扇形OCB=-=．