Question

二次函数与的图象的一个交点为A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C（点B在点C的左侧）．则下列结论：
（1）无论x取何值，y₂的值总是正数；（2）当x=0时，y₂-y₁=4；（3）当x≥-2时，y₁、y₂都随x的增大而增大；（4）2AB=3AC；
其中正确的是（ ）
A．（1）（2）
B．（2）（3）
C．（1）（3）（4）
D．（1）（4）

Answer

把y2配成顶点式，根据二次函数的最值问题对①进行判断；把A点坐标代入y1，求出a确定y1的关系式，然后把x=0分别代入两个函数解析式中求出对应的函数值，再计算它们的差，则可对②进行判断；根据二次函数的增减性对③进行判断；根据抛物线的对称性确定B点和C点坐标，则可计算出AB与AC，然后对④进行判断．
【解析】
y2=（x-3）2+，则抛物线的顶点坐标为（3，），而a=＞0，抛物线开口向上，则函数的最小值为，所以①正确；
把A（1，3）代入得9a-3=3，解得a=，则y1=（x+2）2-3，当x=0，y1=-，y2=，则y2-y1=，所以②错误；
当x≥-2时，y1随x的增大而增大；当x≥3时，y2随x的增大而增大，所以当x≥3时，y1、y2都随x的增大而增大，所以③错误；
因为y1=（x+2）2-3的对称轴为直线x=-2，所以B点坐标为（-5，3）；因为y2=（x-3）2+的对称轴为直线x=3，所以C点坐标为（5，3）；则AB=6，AC=4，所以2AB=3AC，所以④正确．
故选D．