Question

在锐角三角形△ABC（如图1）中，已知三角形的两边AB和AC的长分别为c和b，这两边的夹角为θ，请你用b、c、θ表示锐角三角形的面积=    ；如图2，把角A变为钝角，其他条件不变，且sin（180-θ）=sinθ，则钝角三角形的面积=    （用b、c、θ表示）；如图3，已知△ABC的面积为1，求△AHE的面积    ．

Answer

根据三角函数关系得出三角形的高进而求出面积即可，再用sin（180-θ）=sinθ，得出钝角三角形的面积，利用S△ABC=×AC×BM，S△AHE=AH•AE•sinθ求出面积即可．
【解析】
如图1，过点C作CE⊥AB于点E，
∵三角形的两边AB和AC的长分别为c和b，这两边的夹角为θ，
∴CE=AC•sinθ，
∴S△ABC=×EC×AB=bc•sinθ，
如图2，过点C作CD⊥AB于点D，
∵三角形的两边AB和AC的长分别为c和b，这两边的夹角为θ，
∴CD=AC•sin（180-θ），
∴S△ABC=×DC×AB=bc•sin（180-θ）=bc•sinθ，
如图3，过点B作BM⊥AC于点M，
∵三角形的两边AB和AC的长分别为c和b，这两边的夹角为θ，
∴BM=AB•sin（180-θ）=AB•sinθ，
∴S△ABC=×AC×BM=bc•sin（180-θ）=bc•sinθ=1，
∵∠BAC=θ，∠HAB=90°，∠EAC=90°，
∴∠HAE=180-θ，
∴S△AHE=AH•AE•sinθ=bc•sinθ=1．
故答案为：bc•sinθ，bc•sinθ，1．