Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：
①b-2a=0；②abc＞0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．
其中正确结论的是    ．

Answer

首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴x=-，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＜0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用a-b+c=0，求出a-2b+4c＜0，再利用当x=4时，y＞0，则16a+4b+c＞0，由①知，b=-2a，得出8a+c＞0．
【解析】
根据图象可得：抛物线开口向上，则a＞0．抛物线与y交与负半轴，则c＜0，
对称轴：x=-＞0，
①∵它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0），
∴对称轴是x=1，
∴-=1，
∴b+2a=0，
故①错误；

②∵a＞0，
∴b＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，故②正确；

③∵a-b+c=0，
∴c=b-a，
∴a-2b+4c=a-2b+4（b-a）=2b-3a，
又由①得b=-2a，
∴a-2b+4c=-7a＜0，
故此选项正确；

④根据图示知，当x=4时，y＞0，
∴16a+4b+c＞0，
由①知，b=-2a，
∴8a+c＞0；
故④正确；
故正确为：②③④．
故答案是：②③④．