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如图,已知AB是⊙O的弦,OB=2,∠B=30°,C是弦AB上的任意一点 (不与...

如图,已知AB是⊙O的弦,OB=2,∠B=30°,C是弦AB上的任意一点 (不与点A、B重合),连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD.
(1)弦长等于______

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(1)过点O作OE⊥AB于E,由垂径定理即可求得AB的长; (2)连接OA,由OA=OB,OA=OD,可得∠BAO=∠B,∠DAO=∠D,则可求得∠DAB的度数,又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半,即可求得∠DOB的度数; (3)由∠BCO=∠A+∠D,可得要使△DAC与△BOC相似,只能∠DCA=∠BCO=90°,然后由相似三角形的性质即可求得答案. 【解析】 (1)过点O作OE⊥AB于E, 则AE=BE=AB,∠OEB=90°, ∵OB=2,∠B=30°, ∴BE=OB•cos∠B=2×=, ∴AB=2; 故答案为:2; (2)连接OA, ∵OA=OB,OA=OD, ∴∠BAO=∠B,∠DAO=∠D, ∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D, 又∵∠B=30°,∠D=20°, ∴∠DAB=50°, ∴∠BOD=2∠DAB=100°; (3)∵∠BCO=∠A+∠D, ∴∠BCO>∠A,∠BCO>∠D, ∴要使△DAC与△BOC相似,只能∠DCA=∠BCO=90°, 此时∠BOC=60°,∠BOD=120°, ∴∠DAC=60°, ∴△DAC∽△BOC, ∵∠BCO=90°, 即OC⊥AB, ∴AC=AB=. ∴当AC的长度为时,以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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