Question

如图，过矩形ABCD（AD＞AB）的对角线AC的中点O作AC的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过点E作AD的垂线交AC于点P，求证：2AE²=AC•AP．

Answer

（1）由过矩形ABCD（AD＞AB）的对角线AC的中点O作AC的垂直平分线EF，易证得△AOE≌△COF，即可得EO=FO，则可证得四边形AFCE是平行四边形，又由EF⊥AC，可得四边形AFCE是菱形；
（2）由∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE，可证得△AOE∽△AEP，又由相似三角形的对应边成比例，即可证得2AE2=AC•AP．
证明：（1）由已知可知：EF⊥AC，AO=CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴EO=FO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形；

（2）∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAP=∠OAE，
∴△AOE∽△AEP，
∴，
∴AE2=AO•AP，
又AC=2AO，
∴2AE2=AC•AP．