Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过 A（0，4），B（4，0），C（-1，0）三点．过点A作垂直于y轴的直线l．在抛物线上有一动点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）是否存在点P，使得以A、P、Q三点构成的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P位于抛物线y=ax²+bx+c的对称轴的右侧．若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．求当点M落在坐标轴上时直线AP的解析式．

Answer

（1）将A（0，4），B（4，0），C（-1，0）分别代入抛物线y=ax2+bx+c，列出方程组，即可求出函数解析式．
（2）当P在l下方时，令△AOC∽△AQP，△AOC∽△PQA，根据相似三角形的性质，列比例式，求出点的坐标；当P在l上方时，令△AOC∽△AQP，△AOC∽△PQA，根据相似三角形的性质，列比例式，求出点的坐标；
（3）画出函数图形，利用三角形相似，求出P点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式．
【解析】
（1）将A（0，4），B（4，0），C（-1，0）分别代入抛物线y=ax2+bx+c得，
，
解得，函数解析式为y=-x2+3x+4．
（2）P在l下方时，令①△AOC∽△AQP，
=，
即，
由于y=-x2+3x+4，
则有=，
解得x=0（舍去）或x=，此时，y=，P点坐标为（，）．
②△AOC∽△PQA，
，
即，
由于y=-x2+3x+4，
则有，
解得，x=0（舍去）或x=7，P点坐标为（7，-24）．
③P在l上方时，令△AOC∽△PQA，
，
即，
∵y=-x2+3x+4，
∴，
解得，x=0（舍去）或x=-1，P点坐标为（-1，0）．
④△AOC∽△AQP，
=，即
∴，
解得，x=0（舍去）或x=，P点坐标为（，）．
（3）如图（1），若对称点M在y轴，则∠PAQ=45°，
设AP解析式为y=kx+b，则k=1或-1，
当k=1时，把A（0，4）代入得y=x+4，
当k=-1时，把A（0，4）代入得y=-x+4，
此时P在对称轴右侧，符合题意，
∴y=x+4，或y=-x+4，
设点Q（x，4），P（x，-x2+3x+4），则PQ=x2-3x=PM，
∵△AEM∽△MFP．
则有=，
∵ME=OA=4，AM=AQ=x，PM=PQ=x2-3x，
∴=，
解得：PF=4x-12，
∴OM=（4x-12）-x=3x-12，
Rt△AOM中，由勾股定理得OM2+OA2=AM2，
∴（3x-12）2+42=x2，解得x1=4，x2=5，均在抛物线对称轴的右侧，
故点P的坐标为（4，0）或（5，-6）．
设一次函数解析式为y=kx+b，
把（0，4）（4，0）分别代入解析式得，
解得，
函数解析式为y=-x+4．
把（0，4）（5，-6）分别代入解析式得，
解得，
函数解析式为y=-2x+4．
综上所述，函数解析式为y=x+4，y=-x+4，y=-2x+4．