Question

如图（1）所示一张平行四边形纸片ABCD，AB=10，AD=6，BD=8，沿对角线BD把这纸片剪成△AB₁D₁和△CB₂D₂两个三角形如图（2），将△AB₁D₁沿直线AB₁方向平移在平移过程中，（点B₂始终在AB₁上，AB₁与CD₂始终保持平行）当点A与B₂重合时停止平移在平移过程中，AD₁与B₂D₂交于点E，B₂C与B₁D₁交于点F．

（1）当△AB₁D₁平移到图3时，试判断四边形B₂FD₁E是什么四边形并说明理由；
（2）设平移距离B₂B₁=x，四边形B₂FD₁E的面积为y，求y与x的函数关系式；并求四边形B₂FD₁E的面积的最大值．

Answer

（1）应该是矩形，首先我们知道D1FB2E应该是平行四边形，那么根据AB，AC，BD的长，我们可判断出三角形ABD和DBC都是直角三角形且∠ADB=∠CBD=90°，因此AD1⊥D1B1，因此是矩形．
（2）要求解面积就要知道矩形的长和宽，我们可在直角三角形B1B2F中，用B1B2和∠B1的正弦值求出B2F，同理可用AB2和∠A的正弦值求出B2E，那么就能根据矩形的面积公式求出y，x的函数关系式了，然后根据函数的性质以及自变量的取值范围求出矩形的最大的面积．
【解析】

（1）矩形．
证明：
∵AD1∥B2C，D1B1∥D2B2
∴四边形ED1FB2是平行四边形
在三角形ABD中AB=10，AD=6，BD=8
∴AB2=AD2+BD2
因此三角形ABD是直角三角形，且∠ADB=90°
∴∠AD1B1=90°
∴四边形ED1FB2是矩形．

（2）∵B2B1=x
∴AB2=10-x
直角三角形B1B2F中，sin∠B1==，B2B1=x
∴B2F=B2B1•sin∠B1=x
同理可得B2E=8-x
∴y=B2F•B2E=x•（8-x）
即：y=（x-5）2+12（0＜x＜10）
因此当x=5时，ymax=12
即矩形的最大的面积是12．