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如图,在矩形ABCD中,AB=9,AD=3,点P是边BC上的动点(点P不与点B,...

如图,在矩形ABCD中,AB=9,AD=3manfen5.com 满分网,点P是边BC上的动点(点P不与点B,点C重合),过点P作直线PQ∥BD,交CD边于Q点,再把△PQC沿着动直线PQ对折,点C的对应点是R点,设CP的长度为x,△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y.
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(1)求∠CQP的度数;
(2)当x取何值时,点R落在矩形ABCD的AB边上;
(3)①求y与x之间的函数关系式;
②当x取何值时,重叠部分的面积等于矩形面积的manfen5.com 满分网
(1)由于PQ与BD平行,∠CQP=∠CDB,因此只需求出∠CDB的度数即可.可在直角三角形ABD中,根据AB,AD的长求出∠ABD的度数,由∠CQP=∠CDB=∠ABD即可得出∠CQP的度数; (2)当R在AB上时,三角形PBR为直角三角形,且∠BPR=60°(可由(1)的结论得出),根据折叠的性质PR=CP=x,然后用x表示出BP的长,在直角三角形可根据∠RPB的余弦值得出关于x的方程即可求出x的值; (3)①要分两种情况进行讨论: 一、当R在AB或矩形ABCD的内部时,重合部分是三角形PQR,那么重合部分的面积可通过求三角形CQP的面积来得出,在直角三角形CQP中,已知了∠CQP的度数,可用CP即x的值表示出CQ的长,然后根据三角形的面积计算公式可得出y,x的函数关系式; 二、当R在矩形ABCD的外部时,重合部分是个四边形的面积,如果设RQ,RP与AB的交点分别为E、F,那么重合部分就是四边形EFPQ,它的面积=△CQR的面积-△REF的面积.△CQR的面积在一已经得出,关键是求△REF的面积,首先要求出的是两条直角边RE,RF的表达式,可在直角三角形PBF中用一的方法求PF的长,即可通过RP-PF得出RF的长;在直角三角形REF中,∠RFE=∠PFB=30°,可用其正切值表示出RE的长,然后可通过三角形的面积计算公式得出三角形REF的面积.进而得出S与x的函数关系式; ②可将矩形的面积代入①的函数式中,求出x的值,然后根据自变量的取值范围来判定求出的x的值是否符合题意. 【解析】 (1)如图,∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD,AD=BC. 又AB=9,AD=3,∠C=90°, ∴CD=9,BC=. ∴tan∠CDB=, ∴∠CDB=30°. ∵PQ∥BD, ∴∠CQP=∠CDB=30°; (2)如图1,由轴对称的性质可知,△RPQ≌△CPQ, ∴∠RPQ=∠CPQ,RP=CP. 由(1)知∠CQP=30°, ∴∠RPQ=∠CPQ=60°, ∴∠RPB=60°, ∴RP=2BP. ∵CP=x, ∴PR=x,PB=-x. 在△RPB中,根据题意得:2(-x)=x, 解这个方程得:x=2; (3)①当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时, ,, ∵△RPQ≌△CPQ, ∴当0<x≤时, 当R在矩形ABCD的外部时(如图2),, 在Rt△PFB中, ∵∠RPB=60°, ∴PF=2BP=2(-x), 又∵RP=CP=x, ∴RF=RP-PF=3x-6, 在Rt△ERF中, ∵∠EFR=∠PFB=30°, ∴ER=x-6. ∴S△ERF=ER×FR=x2-18x+18, ∵y=S△RPQ-S△ERF, ∴当时,y=x2+18x-18. 综上所述,y与x之间的函数解析式是:. ②矩形面积=, 当时,函数随自变量的增大而增大, 所以y的最大值是,而矩形面积的的值=, 而,所以,当时,y的值不可能是矩形面积的; 当时,根据题意,得:, 解这个方程,得, 因为, 所以不合题意,舍去. 所以. 综上所述,当时,△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的.
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考点分析:
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求:(1)分别求出图1、图2的阴影部分面积;
(2)请你给出一种草皮运送方案,并求出总运费;
(3)请设计总运费最省的草皮运送方案,并说明理由.表如下:
A校B校
路程(千米)运费单价(元) 路程(千米) 运费单价(元)
甲地 20 0.15 10 0.15
乙地 15 0.20 20 0.20
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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