Question

已知抛物线y=（1-m）x²+4x-3开口向下，与x轴交于A（x₁，0）和B（x₂，0）两点，其中x₁＜x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）若x₁²+x₂²=10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；
（3）设这条抛物线的顶点为C，延长CA交y轴于点D．在y轴上是否存在点P，使以P、B、O为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）本题可从两点入手求解．由于抛物线开口向下，因此二次项系数小于0，抛物线与x轴有两个交点，因此△＞0．联立两式即可求出m的取值范围；
（2）本题要根据一元二次方程根与系数的关系求解；
（3）先根据抛物线的解析式求出A、B、C的坐标，然后根据直线AC的解析式求出D点的坐标，不难得出三角形ABC是个等腰直角三角形，因此∠BCD=90°，因此如果两三角形相似，夹直角的两条直角边应对应成比例，分不同的对应成比例情况进行求解即可．
【解析】
（1）
由①式得：m＞1；
由②式得：m＜
∴1＜m＜；

（2）依题意有：x1+x2=，x1x2=，又x12+x22=10
∴（x1+x2）2-2x1x2=10
∴-=10
化简得：[5（m-1）+8][（m-1）-1]=0
∴m=-，m=2
由（1）值：m=-应舍去，
∴m=2．
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3；

（3）将抛物线配方得：y=-（x-2）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（2，1），
与x轴交点为（1，0）（3，0），
与y轴交点为（0，-3），
可画出抛物线的示意图（如图）
∵A（1，0），B（3，0），C（2，1）
∴△ABC为等腰直角三角形，即∠BCD=90°
又∵直线AC与y轴交于点D
∴D（0，-1），
易得：BC=，CD=2
依题意，设点P（0，y）
若△POB∽△BCD
则或
∴或
∴|y|=或|y|=6
∴y=±或y=±6．
∴当P点坐标为（0，）（0，-）（0，6）（0，-6）时，可使△POB∽△BCD．