Question

如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD²=AB•AE．
求证：DE是⊙O的切线．

Answer

要证DE是⊙O的切线，只要连接DC，DO并延长交⊙O于F，连接AF．根据已知再证∠FDE=90°即可．
证明：连接DC，DO并延长交⊙O于F，连接AF．
∵P点为△ABC的内心，
∴∠BAD=∠DAE，
又∵AD2=AB•AE，即=，
∴△BAD∽△DAE，
∴∠ADB=∠E．
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ACB=∠E，BC∥DE，
∴∠CDE=∠BCD=∠BAD=∠DAC，
又∵∠CAF=∠CDF，
∴∠FDE=∠CDE+∠CDF=∠DAC+∠CAF=∠DAF=90°，
故DE是⊙O的切线．