Question

已知：（a+2b-10）²与|2a-3b+1|互为相反数，且a、b的值恰好为矩形ABCD的长与宽，点P是AD边上的一个动点（P与A、D不重合），以BC为直径的半圆O交PB于Q点，连接QC（如图）．
（1）求矩形ABCD的长与宽；
（2）设PB=x，△BQC的面积S_△BQC=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）当S_△BQC最大时，求PB的长．

Answer

（1）根据非负数的性质：两个非负数的和是0，因而两个非负数同时等于0，即可求得a，b的值；
（2）证得△PAB∽△BQC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求解；
（3）当S△BQC最大时，BC边上的高最大，此时Q点为半圆弧的中点，在根据勾股定理即可求得PB的长．
【解析】
（1）由题意，得
解得
∴矩形的长为4，宽为3；

（2）在Rt△PAB中，
∴
由矩形ABCD得AD∥BC⇒∠1=∠2，∠A=90°
又∵BC是半圆的直径得∠BQC=90°
∴∠A=∠BQC
∴△PAB∽△BQC
自变量x的取值范围是：3＜x＜5．

（3）当S△BQC最大时，BC边上的高最大，此时Q点为半圆弧的中点．
∴QB=QC．
由（2）知：△PAB∽△BQC，∴AP=AB=3．
此时，PB==3，即当S△BQC最大时，．