Question

已知：如图，正方形DEFG内接入Rt△ABC，EF在斜边BC上，EH⊥AB于H．
求证：（1）△ADG≌△HED；（2）EF²=BE•FC．

Answer

（1）根据题意，∠A=∠DHE=90°，DG=DE，根据“AAS”只需再证一对角相等即可．
因为∠ADG+∠HDE=90°，∠HDE+∠HED=90°，
所以∠ADG=∠HED．
（2）欲证结论，即证EF：BE=FC：EF．根据正方形边长相等，转证DE：BE=FC：FG，即证明△BDE∽△GFC．
证明：（1）∵DEFG为正方形，
∴∠EDG=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵EH⊥AB，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
又∠A=∠EHD=90°，DG=DE，
∴△ADG≌△HED．

（2）在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°．
在Rt△BDE中，∠B+∠2=90°．
∴∠2=∠C．
∴Rt△BDE∽Rt△GCF，
∴DE：FC=BE：GF．
又∵DE=GF=EF，
∴