Question

（2005•广州）如图，已知正方形ABCD的面积为S．
（1）求作：四边形A₁B₁C₁D₁，使得点A₁和点A关于点B对称，点B₁和点B关于点C对称，点C₁和点C关于点D对称，点D₁和点D关于点A对称；（只要求画出图形，不要求写作法）
（2）用S表示（1）中作出的四边形A₁B₁C₁D₁的面积S₁；
（3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S，并按（1）的要求作出一个新的四个边形，面积为S₂，则S₁与S₂是否相等，为什么？

Answer

（1）根据对称的性质可知．使得点A1和点A关于点B对称，即是连接AB并延长相同的长度找到对应点A′，其它三点同样的方法找到对应点，顺次连接．
（2）设正方形ABCD的边长为a，根据两个正方形边长的比值，利用面积比等于相似比，来求小正方形的面积．
（3）相等．因为一个四边形可以分成两个三角形，根据三角形的面积公式，等底等高的三角形面积相等．
【解析】
（1）如图①所示．

（2）设正方形ABCD的边长为a，
则AA1=2a，S△AA1D1=•AA1•AD1=a2，
同理，S△BB1A1=S△CC1B1=S△DD1C1=a2，
∴S1=S△AA1D1+S△BB1A1+S△CC1B1+S△DD1C1+S正方形ABCD=5a2=5S．
（本问也可以先证明四边形A1B1C1D1是正方形，再求出其边长为a，从而算出S四边形A1B1C1D1=5S）

（3）S1=S2
理由如下：
首先画出图形②，连接BD、BD1，
∵△BDD1中，AB是中线，
∴S△ABD1=S△ABD．
又∵△AA1D1中，BD1是中线，
∴S△ABD1=S△A1BD1
∴S△AA1D1=2S△ABD
同理，得S△CC1B1=2S△CBD
∴S△AA1D1+S△CC1B1=2（S△ABD+S△CBD）=2S．
同理，得S△BA1B1+S△DD1C1=2S，
∴S2=S△AA1D1+S△BB1A1+S△CC1B1+S△DD1C1+S四边形ABCD=5S．
由（2）得，S1=5S．
∴S1=S2．