Question

（2005•绍兴）E、F为平行四边形ABCD的对角线DB上三等分点，连AE并延长交DC于P，连PF并延长交AB于Q，如图①
（1）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图②，试用刻度尺在图①、②中量得AQ、BQ的长度，估计AQ、BQ间的关系，并填入下表：（长度单位：cm）

	AQ长度	BQ长度	AQ、BQ间的关系
图①中
图②中

由上表可猜测AQ、BQ间的关系是AQ=3QB；
（2）上述（1）中的猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？
（3）若将平行四边形ABCD改为梯形（AB∥CD）其他条件不变，此时（1）中猜测AQ、BQ间的关系是否成立？（不必说明理由）

Answer

（1）用刻度尺量得AQ、BQ的长度如下表；
（2）经观察发现QB，AB都与DP相关，通过证明△PDF∽△QBF，△PDE∽△BAE，根据等分点得出相似比，得出QB，AB的关系，再得出AQ、BQ间的关系是AQ=3QB；
（3）同（2）证明△PDF∽△QBF，△PDE∽△BAE，根据等分点得出相似比，得出QB、AB的关系，再得出AQ、BQ间的关系是AQ=3QB．
【解析】
（1）

AQ长度 BQ长度 AQ、BQ间的关系
图①中 2.7 0.9 AQ=3BQ
图②中 3.3 1.1 AQ=3BQ

注：测量数据基本接近上表中的数据，均可得分
猜想：AQ=3QB；

（2）成立
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB
∴△PDF∽△QBF，
∴，
∵E F为BD三等分点
∴，
同理，
∴=4，
∴=3，
即AQ=3BQ；

（3）成立．