Question

已知关于x的二次函数y=x²+2x+1-m²（m为常数且m＜0）．
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）设抛物线与x轴两个交点横坐标为x₁，x₂且有x₁²-x₂²=2，求m的值．

Answer

（1）令y=0，将二次函数转化为方程x2+2x+1-m2=0求根的问题，根据方程根的判别式来证明；
（2）由题意抛物线与x轴两个交点横坐标为x1，x2，即方程x2+2x+1-m2=0有两根为x1，x2，得x1+x2=-2，x1•x2=1-m2，又有x12-x22=2，从而求出m的值．
【解析】
（1）证明：当y=0时得方程x2+2x+1-m2=0，
△=4-4×1×（1-m2）=4-4+4m2=4m2，（2分）
∵m＜0，
∴4m2＞0，
即△＞0，
∴此抛物线与x轴总有两个交点（3分）；

（2）【解析】
由题意，x1、x2是方程x2+2x+1-m2=0的两根x1+x2=-2，
而x12-x22=（x1-x2）（x1+x2）=2，
∴-2（x1-x2）=x1-x2=-1（6分），
由此得到x1＜x2，而（x+1）2=m2
因此x=m-1或-m-1，
∴m＜0，
∴m-1＜-m-1，
∴x1=m-1，x2=-m-1，
∴m-1-（-m-1）=2m=-1，
∴m=-（8分）．