Question

（2010•扬州）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：点D是BC的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）如果⊙O的直径为9，cosB=，求DE的长．

Answer

（1）连接AD，根据等腰三角形的性质易证；
（2）相切．连接OD，证明OD⊥DE即可．根据三角形中位线定理证明；
（3）由已知可求BD，即CD的长；又∠B=∠C，在△CDE中求DE的长．
（1）证明：连接AD．
∵AB为直径，∴AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴D是BC的中点；

（2）DE是⊙O的切线．
证明：连接OD．
∵BD=DC，OB=OA，
∴OD∥AC．
∵AC⊥DE，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．

（3）【解析】
∵AB=9，cosB=，
∴BD=3．
∴CD=3．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴cosC=．
∴在△CDE中，
CE=1，DE==．