Question

如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．容易证得：CE=CF；

（1）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，试猜想GE、BE、GD三线段之间的关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，若以C为圆心，CD为半径作圆，试判断此圆与直线EG的位置关系，并说明理由；
（3）运用（1）中解答所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．

Answer

（1）利用正方形的性质和∠GCE=45°，求出∠GCD+∠BCE=45°，再根据△EBC≌△FDC，得出∠ECG=∠FCG，然后证出△ECG≌△FCG，即可得出结论．
（2）根据切线的性质定理解答即可．
（3）作出辅助线DF，根据三角形面积公式列等式即可求出DF的长，再利用勾股定理解答即可．
【解析】
（1）∵DF=BE，∠FDC=∠EBC，BC=DC，
∴△EBC≌△FDC，
∴∠DCF=∠BCE，
∵∠GCE=45°，所以∠BCE+∠DCG=90°-45°=45°，
即∠DCG+∠DCF=45°，
∴∠ECG=∠FCG，CF=CE，
于是△ECG≌△FCG，
故EG=GF，即GE=BE+GD．

（2）作CG⊥EG，
因为△ECG≌△FCG，
故其对应高相等，
于是CD=CG，
以C为圆心，CD为半径作圆，则该圆经过点G，
于是可知EG为圆的切线．

（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，
又∠CGA=90°，AB=BC，
∴四边形ABCG为正方形．
∴AG=BC=12．
已知∠DCE=45°，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG，
设DE=x，则DG=x-4，
∴AD=16-x．
在Rt△AED中
∵DE2=AD2+AE2，即x2=（16-x）2+82
解得：x=10．
∴DE=10．