Question

（2009•松江区二模）如图，已知二次函数y=ax²-2ax+3（a＜0）的图象与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图象经过点A、点B．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求顶点P的坐标；
（3）平移直线AB使其过点P，如果点M在平移后的直线上，且tan∠OAM=，求点M的坐标．

Answer

（1）根据抛物线的解析式即可得出B（0，3），根据OB=3OA，可求出OA的长，也就得出了A点的坐标，然后将A、B的坐标代入直线AB的解析式中，即可得出所求；
（2）将（1）得出的A点坐标代入抛物线的解析式中，可求出a的值，也就确定了抛物线的解析式进而可求出P点的坐标；
（3）易求出平移后的直线的解析式，可根据此解析式设出M点坐标（设横坐标，根据直线的解析式表示出纵坐标）．然后过M作x轴的垂线设垂足为E，在构建的直角三角形AME中，可用M点的坐标表示出ME和AE的长，然后根据∠OAM的正切值求出M的坐标．（本题要分M在x轴上方和x轴下方两种情况求解．方法一样．）
【解析】

（1）∵y=ax2-2ax+3，当x=0时，y=3
∴B（0，3）
∴OB=3，
又∵OB=3OA，
∴AO=1
∴A（-1，0）
设直线AB的解析式y=kx+b，
解得k=3，b=3
∴直线AB的解析式为y=3x+3；

（2）∵A（-1，0）
∴0=a+2a+3，
∴a=-1
∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4
∴抛物线顶点P的坐标为（1，4）；

（3）设平移后的直线解析式y=3x+m
∵点P在此直线上，
∴4=3+m，m=1
∴平移后的直线解析式y=3x+1
设点M的坐标为（x，3x+1），作ME⊥x轴于E．
若点M在x轴上方时，ME=3x+1，AE=x+1
在Rt△AME中，由，
∴x=
∴M（，2）
若点M在x轴下方时，ME=-3x-1，AE=1+x
在Rt△AME中，由，
∴x=-
∴M（-，-）
所以M的坐标是（-，-）或（，2）．