Question

如图，已知点P在x轴上，⊙P与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若B点坐标为（1，0），点C坐标为（0，-2）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）在所给的坐标系中画出抛物线的草图；
（3）观察图象，当x满足条件______时，y＜0．

Answer

（1）连接AC、BC，由圆周角定理知∠ACB=90°，在Rt△ACB中，CO⊥AB，利用射影定理即可求得OA的长，从而得到点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式；
（2）通过描点、连线画出（1）题所得抛物线的函数图象即可；
（3）由图可知，抛物线的开口向上，在A-B之间抛物线的图象在x轴下方，可据此求出y＜0时，自变量的取值范围．
【解析】
（1）连接AC、BC．
∵AB是⊙P的直径，
∴∠ACB=90°
在Rt△ACB中，OC⊥AB，由射影定理得：
OC2=OA•OB，即OA=OC2÷OB=4，
∴A（-4，0）．
设抛物线的解析式为：y=a（x+4）（x-1），依题意有：
a（0+4）（0-1）=-2，
解得a=．
∴抛物线的解析式为：y=（x+4）（x-1）=x2+x-4；

（2）如右图；

（3）由图知：在A、B之间的抛物线图象都在x轴下方，已知A（-4，0），B（1，0），
故当-4＜x＜1时，y＜0．