Question

在正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．如果∠MAN在如图1所示的位置时，有BM+DN=MN成立（不必证明）．请问当∠MAN绕点A旋转到如图2所示的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请说明理由．

Answer

在DN上截取DE=BM，连接AE，然后通过两步全等来求解；首先证△ADE≌△ABM，可得AE=AM，证△AMN≌△AEN，得到MN=NE，由此求得BM、DN、MN的数量关系．
【解析】
MN=DN-BM．理由如下：
如图2所示，在DN上截取DE=BM，连接AE；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM=∠D=90°，AB=AD，
又∵DE=BM，
∴Rt△ABM≌Rt△ADE，
∴AM=AE，∠BAM=∠DAE；
∵∠MAN=45°，
∴∠DAE+∠BAN=∠MAB+∠BAN=∠MAN=45°，
∴∠EAN=90°-（∠DAE+∠BAN）=45°，又∠MAN=45°，
∴∠EAN=∠MAN=45°，
又∵AM=AE，AN=AN，
∴△AMN≌△AEN，得MN=EN，
∴DN=DE+EN=BM+MN，即MN=DN-BM．