Question

（2010•西城区二模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，∠BAC=30°，点E在CD边上．
（1）若AE=4，求梯形ABCE的面积；
（2）若点F在AC上，且∠BFA=∠CEA，求的值．

Answer

（1）在△ABC中，利用∠BAC=30°的正切求出BC的长，再根据勾股定理，利用△ADE的三边求出DE的长度，即可求出EC，代入梯形面积公式即可求解．
（2）求出对角线AC的值，利用△ABF和△CAE相似的性质即可求解．
【解析】
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=6，（1分）
在Rt△ABC中，AB=6，∠BAC=30°，BC=ABtan∠BAC=2，（2分）

（1）在Rt△ADE中，AE=4，AD=BC=2，
∴DE==2
∴EC=6-2=4．
∴梯形ABCE的面积S=（EC+AB）•BC=（4+6）×2=10．（3分）

（2）在Rt△ABC中，AB=6，∠BAC=30°，
∴AC=AB÷cos30°=4，
在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BFA=∠CEA，
∴△ABF∽△CAE，
∴===．