Question

（2011•花都区二模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，在AB边上取动点P，连接DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x，BE=y．
（1）当BC=4时，试写出y关于x的函数关系式；
（2）在满足（1）的条件下，若△APD是等腰三角形时，求BE的长；
（3）在满足（1）的条件下，点E能否与C点重合？若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由；
（4）当BC在什么范围内，存在点P，使得PQ经过C（直接写出结果）．

Answer

（1）可通过构建相似三角形来求解，过D作AB的垂线DH，垂足为H，那么根据AB、CD的长，就能表示出AH、BH、PH的长，然后通过证三角形DPH和PBE相似，得出关于DH、PH、PB、BE的比例关系式，由于BC=DH，因此可得出关于x、y函数关系式．
（2）可分三种情况进行讨论；
①当AP=AD时，AD可在直角三角形ADH中，根据AH的长和BC的长用勾股定理得出．那么此时就得出了AP的值即x的值，然后代入（1）的函数式即可得出BE的长．
②当AD=PD时，可根据等腰三角形三线合一的特点先求出AH的值，那么AH=PH即可得出x的值，然后代入（1）的函数式求出BE．
③当AP=PD时，可在直角三角形DPH中用含x的式子表示出PD2，然后根据AP2=AD2，求出x的值，然后根据（1）的函数式求出BE的长．
（3）当E与C重合时，BE=AH，然后将（1）中得出的AH的值，代入（1）的函数式中，可得出一个关于x的二元一次方程，那么看看这个方程是否有解即可判断出是否存在E与C重合的情况．
（4）如果在运动的过程中，始终保持∠DPC=90°，那么以DC为直径的圆会与AB相交或相切，为此DC的中点即圆心到AB的距离会小于等于半径3．那么BC应满足的条件应该是0＜BC≤．
【解析】
（1）过D点作DH⊥AB于H，
则四边形DHBC为矩形，
∴HB=CD=6，∴AH=AB-CD=2．
∵AP=x，∴PH=x-2，
∵∠DPH+∠PDH=90°，∠DPH+∠BPE=90°，
∴∠PDH=∠BPE．
∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB．
∴，∴，
整理得：y=（x-2）（8-x）=-x2+x-4，
∵在AB边上取动点P，连接DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，AH=2，
∴2＜x＜6，
即y=-x2+x-4（2＜x＜8）；

（2）直角三角形AHD中，AH=AB-CD=2，DH=BC=4，根据勾股定理可得：AD=2，
要使△APD是等腰三角形，则
情况①：当AP=AD=2，即x=2时：
BE=y=-×（2）2+×2-4=5-9
情况②：当AD=PD时，则AH=PH，
∵AH=2，PH=x-2，∴2=x-2，解得x=4，符合x的取值范围，
那么：BE=y=-×42+×4-4=2
情况③：当AP=PD时，则AP2=PD2，
∴x2=42+（x-2）2，解得x=5，符合x的取值范围，
那么：BE=y=-×52+×5-4=2

（3）在满足（1）的条件下，若存在点E能与C点重合，
则y=-x2+x-4=4，整理得：x2-10x+32=0
∵△=（-10）2-4×32＜0，∴原方程无实数解，
∴在满足（1）的条件下，不存在点E与C点重合．

（4）在满足0＜BC≤时，存在点P，使得PQ经过C．