Question

（2006•沈阳）如图，在⊙O中，，点M是上任意一点，弦CD与弦BM交于点F，连接MC，MD，BD．
（1）请你在图中过点B作⊙O的切线AE，并证明AE∥CD；
（不写作法，作图允许使用三角板）
（2）求证：MC•MD=MF•MB；
（3）如图，若点M是上任意一点（不与点B，点C重合），弦BM，DC的延长线交于点F，连接MC，MD，BD，则结论MC•MD=MF•MB是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．

Answer

（1）当作出切线AE后，弦切角DBE和弧BD（弧BC）∠BMC相等，又∠BMC和∠BDC为同弧所对的圆周角，所以有∠DBE=∠BMC=∠BDC，所以AE∥CD；
（2）因为∠DBM和∠DCM为同弧所对的圆周角，所以相等，又∠BMD和∠BMC为等弧所对的圆周角，所以相等，即△MCF∽△MBD则有MC•MD=MF•MB；
（3）四边形BDCM是⊙O的内接四边形，所以有∠FMC=∠BDC，∠FCM=∠B，又因为∠BDC和∠BMD为等弧所对的圆周角，所以相等，两组对应角相等，所以相似．
【解析】
（1）如图，正确作出切线．
证明：∵AE是⊙O的切线，
∴∠DBE=∠DMB．
∵，
∴∠CDB=∠DMB．
∴∠DBE=∠CDB．
∴AE∥CD．

（2）证明：∵，
∴∠CMF=∠BMD．
又∵∠MCF=∠MBD，
∴△MCF∽△MBD．
∴．
∴MC•MD=MF•MB．

（3）成立．
证明：∵四边形BDCM是⊙O的内接四边形，
∴∠FCM=∠DBM，∠FMC=∠BDC．
∵，
∴∠BDC=∠DMB．
∴∠FMC=∠DMB．
∴△MCF∽△MBD．
∴．
∴MC•MD=MF•MB．