Question

（2006•大连）如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．
探究：
（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；
（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；
（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；
如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；
（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）
（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．

Answer

连接BE，根据边角边可证△PAM和△EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又因为BC⊥AC，所以DE也和AC垂直．以下几种情况虽然图象有所变化，但是证明方法一致．
【解析】
（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．

（2）如图4，如图5．

（3）方法一：
如图6，
连接BE，
∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，
∴△PMA≌△EMB．
∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，
∴PA∥BE．
∵平行四边形PADC，
∴PA∥DC，PA=DC．
∴BE∥DC，BE=DC，
∴四边形DEBC是平行四边形．
∴DE∥BC，DE=BC．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴DE⊥AC．

方法二：
如图7，连接BE，PB，AE，
∵PM=ME，AM=MB，
∴四边形PAEB是平行四边形．
∴PA∥BE，PA=BE，
余下部分同方法一：

方法三：
如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，
∵平行四边形PADC，
∴AN=NC，PN=ND．
∵AM=BM，AN=NC，
∴MN∥BC，MN=BC．
又∵PN=ND，PM=ME，
∴MN∥DE，MN=DE．
∴DE∥BC，DE=BC．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC．
∴DE⊥AC．

（4）如图9，DE∥BC，DE=BC．