Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0，8），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上一动点，连结CD，DE，以CD，DE为边作□CDEF。

（1）当0< m <8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；

（2）当m =3时，是否存在点D，使□CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得□CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值。

Answer

（1）（2）存在（3）m的值为或0或或

【解析】【解析】
（1）∵A（6，0），B（0，8），∴OA=6，OB=8。∴AB=10。

∵∠CEB=∠EBC=900，∠OBA=∠EBC，∴△BCE∽△BAO。

∴，即。∴。

（2）存在。 

∵m =3，∴BC=8－m=5，。

∴根据勾股定理得BC=4。

∴AE=AB－BE=6。

∵点F落在y轴上（如图1），

∴DE∥BO。

∴△EDA∽△BOA。∴，即。

解得：。∴点D的坐标为（，0）。

（3）取CE的中点P，过点P作PG⊥y轴于点G，

则。

①当0< m <8时（如图2），

易证∠GCP=∠BAO，

∴。

∴。

∴。

由题意，根据矩形对角线平分且相等的性质，得OG=CP，

∴，解得。

②当m≥8时，OG＞CP，不存在满足条件的m的值。

③当m =0，即点C与点O重合时（如图3），

满足题意。

④当m＜0时，分两种情况：

ⅰ）当点E与点A重合时（如图4），

易证△COA∽△AOB，

∴，即。

解得。

ⅱ）当点E与点A重合时（如图5），

，

由题意，得OG=CP，

∴。

解得。

综上所述，m的值为或0或或。

（1）由△BCE∽△BAO即可用含m的代数式表示出CE的长。

（2）由△EDA∽△BOA即可求得，从而得到点D的坐标。

（3）分①0< m <8，②m≥8，③m =0，④m＜0四种情况讨论。