Question

已知抛物线（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y₁随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．

Answer

x＜－2

【解析】【解析】
∵OC=8，且点C在y轴上，

∴一次函数中 n=为8或－8 。

①当n=8时，，如图1，

令，得x=－6。

∴A（－6，0）。

∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，

∴抛物线开口向下，则a＜0。

∵AB=16，且A（－6，0），∴B（10，0）。

∵A、B关于对称轴对称，∴对称轴直线x=。

要使y1随着x的增大而减小，则x＞2。

②当n=－8时，，如图2，

令，得x=6。∴A（6，0）。

∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，

∴抛物线开口向下，则a＞0。

∵AB=16，且A（6，0），∴B（－10，0）。

∵A、B关于对称轴对称，∴对称轴直线x=。

要使y1随着x的增大而减小，则x＜－2。

综上所述，当n=8，y1随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围为x＞2；当n=－8，y1随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围为x＜－2。

根据OC的长度确定出n的值为8或﹣8，然后分n=8和n=﹣8两种情况求出点A的坐标，确定抛物线开口方向并求出点B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围。