Question

射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值     （单位：秒）

Answer

t=2或3≤t≤7或t=8。

【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°。

∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点。

∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°。

分为三种情况：①如图1，当⊙P切AB于M′时，连接PM′，

则PM′=cm，∠PM′M=90°，

∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，

∴QP=4cm﹣2cm=2cm，

∵速度是每秒1cm，∴t=2。

②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接PA，

则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm

∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm。

∵速度是每秒1cm，∴t=3。

当⊙P于AC切于C点时，连接P′C，

则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，

∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm。

∵速度是每秒1cm，∴t=7。

∴当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切。

③如图3，当⊙P切BC于N′时，连接PN′，

则PN′=cm，∠PM\N′N=90°，

∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm。

∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm。

∵速度是每秒1cm，∴t=8。

综上所述，t可取的一切值为：t=2或3≤t≤7或t=8。