Question

如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”

（1）请用直尺与圆规画一个“好玩三角形”；

（2）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：△ABC是“好玩三角形”；

（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a, ∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同的速度分别沿折线AB－BC和AD－DC向终点C运动，记点P所经过的路程为s

①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值；

②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”？请直接写出tanβ的取值范围。

（4）本小题为选做题

依据（3）中的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是“好玩三角形”的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）。

Answer

（1）

（2）见解析（3）①或②（4）见解析

【解析】【解析】
（1）作图如下，△ABC即为所求。

（2证明：取AC的中点D，连接BD，

∵∠C=90°，，∴。

设，由，。

∴。

∴AC=BD。∴△ABC是“好玩三角形”。

（3）①若β=45°，当点P在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”。

当点P在BC上时，连接AC，交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，

∵PC=QC，∠ACB=∠ACD，∴AC是PQ的垂直平分线。

∴AP=AQ。

∵∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，∴△AEF∽△CEP。

∴。

∵PE=CE，∴。

ⅰ）当底边PQ与它的中线AE相等，即AE=PQ时，，∴。

ⅱ）当腰AP与它的中线QM相等，即AP=QM时，

作QN⊥AP于点N，∴MN=AN=PM。

∴QN=MN。

∴。

∴。

∴。

综上所述，的值为或。

②。

（4）若，则在点P，Q的运动过程中，使得△APQ是“好玩三角形”的个数为2。

（1）作边AB，取AB中点D，以点D 为圆心，AB长画圆，圆上异于点A、B 的任一点C与点A、B连成的三角形就是“好玩三角形”。

（2）取AC的中点D，连接BD，应用锐角三角函数定义和勾股定理证明AC=BD即可。

（3）①先确定当点P在BC上时才可能使△APQ是“好玩三角形”，从而分底边PQ与它的中线AE相等和腰AP与它的中线QM相等两种情况求解。

②由①知两上临界点和2，即可得出结论。

（4）在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是“好玩三角形”的个数关系如下：

tanβ的取值范围

“好玩三角形”的个数

2

1

0

无数个