Question

如图，△OAB中，OA =" OB" = 10，∠AOB = 80°，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N.

（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′.

求证：AP = BP′；

（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；

（3）设点Q在优弧上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数.

Answer

（1）根据已知得出∠AOP=∠BOP′，从进而由SAS得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案。

（2）

（3）10°或170°

【解析】

分析：（1）根据已知得出∠AOP=∠BOP′，从进而由SAS得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案。

（1）证明：如图1，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP，

∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP，

∴∠AOP=∠BOP′。

∵在△AOP和△BOP′中，，

∴△AOP≌△BOP′（SAS）。

∴AP=BP′。

（2）利用切线的性质得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的长，进而得出TH的长即可得出答案。

【解析】
如图1，连接OT，过点T作TH⊥OA于点H，

∵AT与相切，∴∠ATO=90°。

∴。

∵×OA×TH=×AT×OT，

∴×10×TH=×8×6，解得：TH=。

∴点T到OA的距离为。

（3）如图2，当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大。理由如下：

当Q点在优弧左侧上，

∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大。

∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°。

当Q点在优弧右侧上，

∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大。

∴∠BOQ=∠AOQ－－∠AOB=90°－80°=10°。

综上所述：当∠BOQ的度数为10°或170°时，△AOQ的面积最大。