Question

如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分ÐABC，P是BD上一点，过点P作PM^AD，PN^CD，垂足分别为M、N。

（1）求证：ÐADB=ÐCDB；

（2）若ÐADC=90°，求证：四边形MPND是正方形。

Answer

见解析

【解析】证明：（1）∵BD平分ÐABC，∴ÐABD=ÐCBD。

又∵BA=BC，BD=BD，∴△ABD ≌△CBD（SAS）。

∴ÐADB=ÐCDB。

（2）∵PM^AD，PN^CD，∴ÐPMD=ÐPND=90°。

又∵ÐADC=90°，∴四边形MPND是矩形。

∵ÐADB=ÐCDB，PM^AD，PN^CD，∴PM=PN。∴四边形MPND是正方形。

（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB。

（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形。