Question

如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线经过C、B两点，与x轴的另一交点为D。

（1）点B的坐标为（       ，       ），抛物线的表达式为       .

（2）如图2，求证：BD//AC；

（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长。

Answer

（1）（6，2）（2）见解析（3）8

【解析】【解析】
（1）（6，2）；。

（2）证明：令，即，解得x=2或x=7。

∴D（7，0）。

∴BC=AC=，BD=，CD=5。∴。

∴∠CBD=900，即BD⊥BC。

又∵ AC⊥BC，∴BD//AC。

（3）连接AB，BP，

∵AC⊥BC，BC=AC=，

∴∠ACB=900，∠ABC=450，∠APB=∠ACB=450，AB=。

∴∠ABQ=∠APB。

又∵∠BAQ=∠PAB，∴△ABQ∽△APB。

∴，即，解得AP=8。

（1）过点B作BE⊥x轴于点E，易证△AOC≌△CEB（AAS），则

CE=AO=4， BE=CO=2，OE=6，∴B（6，2）。

将B（6，2），C（2，0）代入，得

，解得。

∴抛物线的表达式为。

（2）应用勾股定理求出BC，BD和CD的长，根据勾股定理逆定理得∠CBD=900，即BD⊥BC，从而由AC⊥BC，得到BD//AC。

（3）连接AB，BP，通过证明△ABQ∽△APB得求解。

别【解析】

①过点C作CH⊥AQ于点H，由垂径定理和射影定理求解。

②由勾股定理求得延长BC交⊙O于点R，由相交弦定理求解。