Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2,2），反比例函数（x＞0，k≠0）的图像经过线段BC的中点D.

（1）求k的值；

（2）若点P(x,y)在该反比例函数的图像上运动（不与点D重合），过点P作PR⊥y轴于点R,作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围。

Answer

（1）k＝2（2）0＜ｘ＜1或ｘ＞1

【解析】【解析】
（1）∵正方形OABC中，点B的坐标为（2，2），点D是线段BC的中点，∴点B的坐标为（1，2）。

∵反比例函数的图像经过点D，∴，即k＝2。

（2）由（1）知反比例函数为（x＞0），

∵点P(x，y)在（x＞0）的图像上，

∴设P(x，)，则R（0，）。

当0＜ｘ＜1时，如图1，

∵四边形CQPR为矩形，∴Q(x，2)。

∴PR=x,PQ=。

∴四边形CQPR的面积为：。

当ｘ＞1时，如图2，

∵四边形CQPR为矩形，∴Q(x，2)。

∴PR=x,PQ=。

∴四边形CQPR的面积为：。

综上所述：S关于x的解析式为， x的取值范围：0＜ｘ＜1或ｘ＞1。

（1）由点B的坐标可知BCC的长度，由点D 是BC的中点可得点D的坐标。由点D在反比例函数图象上，将点D的坐标代入可求得k的值。

（2）由题意可知，四边形CQPR是矩形，分0＜ｘ＜1和ｘ＞1两种情况分别用ｘ表示PQ，PR的长度，用矩形面积公式求解。