Question

为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使顶点D、E在斜边AB上，F、G分别在直角边BC、AC上；又分别以AB、BC、AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖.其中米，∠BAC=60⁰.设EF=x米，DE=y米.

（1）求y与x之间的函数解析式；

（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？

（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的？

Answer

（1）（0＜x＜8）（2）（3）米时

【解析】【解析】
（1）在Rt△ABC中，由题意得AC=米，BC=36米，∠ABC=300,

∴AB=，。

又∵AD+DE+BE=AB，∴DE=AB－AD－BE。

∴（0＜x＜8）。

（2）∵矩形DEFG的面积，

∴当x=9时，矩形DEFG的面积最大，最大面积为平方米。

（3）记AC为直径的半圆、BC为直径的半圆、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，两弯新月面积为S，则

由AC2+BC2=AB2可知S1+S2=S3，∴。故S=S△ABC。

∴两弯新月的面积S=(平方米)。

由得，解得，符合题意。

∴当米时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的。

（1）应用锐角三角函数，将AD，BE用x来表示，由DE=AB－AD－BE列式即得y与x之间的函数解析式。

（2）求出矩形DEFG面积的函数表达式，应用二次函数最值原理求解即可。

（3）应用转换思想，由S两弯新月=S△ABC，根据矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的列方程求解即可。