Question

如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至,旋转角为.

（1）当点恰好落在EF边上时，求旋转角的值；

（2）如图2，G为BC的中点，且0⁰＜＜90⁰，求证：；

（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由.

Answer

（1）∠α=300（2）见解析（3）旋转角a的值为1350或3150时，△BCD′与∠DCD′全等

【解析】【解析】
（1）∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴CD′=CD=2。

在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，∴sinα=。∴∠CD′E=300。

∵CD∥EF，∴∠α=300。

（2）证明：∵G为BC中点，BC=2，∴CG=1。∴CG=CE。

∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，

∴∠D′CE′=∠DCE=900，CE=CE′CE。∴∠GCD′=∠DCE′=900+α。。

在△GCD′和△∠DCE′中，

∵，∴△GCD′≌△∠DCE′（SAS）。∴GD′=E′D。

（3）能。理由如下：

∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD。

∵CD=CD′，∴△BCD′与∠DCD′为腰相等的两等腰三角形。

当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌∠DCD。

当△BCD′与∠DCD′为钝角三角形时， ；

当△BCD′与∠DCD′为锐角三角形时，。

∴旋转角a的值为1350或3150时，△BCD′与∠DCD′全等。

（1）根据旋转的性质得CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，则∠CD′E=300，然后根据平行线的性质即可得到∠α=300。

（2）由G为BC中点可得CG=CE，根据旋转的性质得∠D′CE′=∠DCE=900，CE=CE′CE，则∠GCD′=∠DCE′=900+α，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△∠DCE′，GD′=E′D。

（3）根据正方形的性质得CB=CD，而CD=CD′，则△BCD′与∠DCD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当△BCD′与∠DCD′为钝角三角形时，可计算出α=1350，当△BCD′与∠DCD′为锐角三角形时，可计算得到α=3150。